Toán học lý thú: Các đường cong lãng mạn

1. Astroid (đường hình sao)

Phương trình tổng quát: $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$
Phương trình tham số: $x=a\cos3(t),y=a\sin3(t)$
Đường cong astroid (đường hình sao) lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Johann Bernoulli trong khoảng 1691 và 1692. Nó cũng xuất hiện trong các bức thư của Leibnitz năm 1715. Đôi khi nó được gọi là tetracuspid vì lý do là nó có bốn cánh.
Độ dài của đường astroid là 6a và diện tích của nó là $\frac{3\pi a^2}{8}$ .
Nó có thể được tạo thành bằng cách quay một đường tròn bán kính $\frac{a}{4}$ bên trong đường tròn bán kính a.

2. Cardioid (đường hình tim)

Phương trình trong hệ tọa độ Descartes: $(x^2 + y^2 - 2ax)^2=4a^2(x^2 +y^2)$
Phương trình trong tọa độ cực: $r=2a(1+\cos(\theta))$
Đường cardioid, được đặt tên bởi de Castillon trong bài báo có tên Philosophical Transactions of the Royal Societyin 1741, nó được sinh ra khi quay một điểm nằm trên một đường tròn tiếp xúc ngoài một đường tròn khác cùng bán kính

Không có gì quý bằng học thức hãy tích lũy nó khi bạn còn đủ sức

Chiều dài của nó là 16a, diện tích là $6\pi a^2$ . 3.Devil’s Curve (Đường cong của quỷ)
Devil’s Curve (Đường cong của quỷ)được nghiên cứu bởi G. Cramer vào 1750 và Lacroix vào 1810. Nó xuất hiện trong cuốn Nouvelles Annalesin 1858.

Phương trình trong tọa độ Descartes:
$y^4-x^4+bx^2+ax^2=0$
Phương trình trong tọa độ cực:
$r=\frac{25-24\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta}$
4. Butterfly Curve (Đường cong hình con bướm)

Có hai đường cong được biết đến với cái tên Butterfly Curve (Đường cong hình con bướm).
Thứ nhất là đường cong bậc 6 có phương trình là $y^6=x^2-x^6$
(Cundy and Rollett 1989, p. 72; hình bên trái). Diện tích cả hai cánh được tính bởi
$S=4\int\limits_0^1(x^2-x^6)^{\frac{1}{6}}dx=2.804364...$
Đường cong thứ hai có phương trình trong hệ tọa độ cực là
$r=e^{\sin\theta}-2\cos(4\theta)-2\sin^5(\frac{1}{24}(2\theta-\pi))$
(Bourke, Fay 1989, Fay 1997, Kantel-Chaos-Team, Wassenaar; hình bên phải).
5. Các đường xoắn ốc
Đường xoắn ốc đa giác (Polygonal Spiral)được tìm ra bởi việc quan tâm đến tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của một đa giác đều n cạnh.
Phương trình $\frac{r}{R}=\cos\frac{\pi}{n}$

Đường xoắn ốc Archimedes (Archimedes’ spiral) có phương trình trong toạ độ cực là
$r=a\theta$
Đường cong này được nghiên cứu lần đầu bởi Conon, và sau đó Archimedes trong tác phẩm On Spirals khoảng 225 trước công nguyên.

Đường xoắn ốc hyperbolic, cònn được gọi là đưòng cong nghịch đảo, là một dạng khác của đường cong Archimedes với phương trình là
$r=\frac{a}{\theta}$
đựoc đề xuất bởi Pierre Varignon vào 1704 và đwocj nghiên cứu kĩ bởi Johann Bernoulli giữa 1710 và 1713, cũng như bởi Cotes vào 1722.

Đường xoắn ốc Fermat (Fermat’s Spiral ) còn đựoc gọi là đường xoắn ốc parabolic có phương trình
$r^2=a^2\theta$
Tất nhiên nó là của Fermat, vào năm 1636.

6. Folium (Đường cong hình lá)
Folium trong tiếng Latin nghĩa là hình chiếc lá

Dạng tổng quát của đường cong này được cho bởi công thức sau:
Phương trình trong tọa độ Descartes:
$(x^2+y^2)(y^2+x(x + b)) = 4axy^2$
Phương trình dạng cực:
$r=-b\cos\theta+4a\cos\theta\sin2\theta$
Có 3 dạng đặc biệt của công thức này là
b = 4a, b = 0, b = a
tương ứng với chúng là lá đơn (simple folium), lá kép(double folium) và lá ba (trifolium).

Một đường cong hình lá rất nổi tiếng khác là lá Đề-các. Nó được đề xuất lần đầu tiên bởi Đề-các vào năm 1638.
Phương trình trong tọa độ Descartes:
$x^3+y^3=3axy$
hay dạng tham số:
$x=\frac{3at}{1+t^3}, y=\frac{3at^2}{1 + t^3}$
Ông đã tìm ra hình dạng của chiếc lá này ở góc phần tư thứ nhất. Tuy nhiên ông đã mắc một sai lầm là cho rằng nó cũng như vậy ở các góc phần tư còn lại như bốn cánh của một bông hoa.

7. Limaçon (Đường ốc sên)
Limacon hay Limacon of Pascal được khảo sát lần đầu tiên bởi Dürer, người đã đưa ra phương pháp vẽ nó trong Underweysung der Messung (1525). Nó được khám phá lại bởi Étienne Pascal (cha của Blaise Pascal) và được đặt tên bởi một người Pháp khác là Gilles-Personne Roberval vào năm 1650 khi ông dùng nó như một ví dụ cho phương pháp vẽ tiếp tuyến của mình.

Cái tên ‘limacon’ có nguồn gốc từ tiếng Latin limax nghĩa là ‘con ốc sên’.
Phương trình của nó trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2 + y^2 - 2ax)^2 = b^2(x^2 + y^2)$
hay ở trong tọa độ cực:
$r = b + 2a \cos(\theta)$
Nó bất biến qua phép nghịch đảo.

Khi b = 2a đường limacon trở thành cardioid.

8. Lemniscate (Đường cong số 8 )

Đường cong số 8 của Gerono:
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes:
$x^4 = a^2(x^2-y^2)$
Trong tọa độ cực:
$r^2 = a^2\cos(2\theta)\sec^4\theta$
Đường cong số 8 của Bernouli:

năm 1694, nó xuất hiện trong một bài báo của Jacob Bernoulli trong Acta Eruditorumon. Jacob Bernoulli không ngờ nó chỉ là một trường hợp đặc biệt Cassinian Oval (trái xoan Casini) được mô tả bởi Cassini vào 1680.
Phương trình trong hệ tọa độ Đề-các:
$(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)$
Trong tọa độ cực:
$r^2 = a^2cos(2\theta)$
Cách dựng Đường cong số 8 của Bernouli: Download
Cassinian Ovals (Trái xoan Casini) là tập hợp các điểm P di động sao cho tích các khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định S and T (trong trường hợp này là các điểm (a, 0)và (-a, 0)) là một hằng số $c^2$ . Hình dạng của nó phụ thuộc vào tỉ số $\frac{c}{a}$ . Khi c=a ta có đường cong số 8 của Bernouli.

Phương trình trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) + a^4 - c^4 = 0$
9. Sinusoidal Spirals

Tiếp tục chuỗi các đường cong nổi tiếng,mathdiamond xin giới thiệu tiếp với các bạn Sinusoidal Spirals
Phương trình trong toạ độ cực:
$r^p = a^p\cos(p\theta)$

trong đó a là số khác 0 và p là số hữu tỉ.
Nhiều đường cong thông thường là trường hợp đặc biệt của sinusoidal spirals.
-Nếu p = -1 ta có đường thẳng.
-Nếu p = 1 ta có đường tròn.
-Nếu $p = \frac{1}{2}$ ta có đường cardioid.
-Nếu $p = -\frac{1}{2}$ ta có đường parabola.
-Nếu p = -2 ta có đường hyperbola.
-Nếu p = 2 ta có đường lemniscate of Bernoulli.

10. Cycloid
Đường cong cycloid là tập hợp những điểm cách tâm của một đường tròn bán kính a một khoảng h khi đường tròn này chạy trên một đường thẳng.
Phương trình tham số trong tọa độ Đề-các:
$x = at - h sin(t), y = a - h cos(t)$
Có 3 trường hợp xảy ra là a>h, h>a, h=a,

Cycloid được dặt tên bởi Galile vào năm 1599. Vào 1634, nhà toán học Pháp Gilles de Roberval (1610-1675) chứng minh rằng dien tích giới hạn bởi một cycloid bằng 3 lần diện tích hình tròn sinh ra nó. Vào 1658, kĩ sư người Anh Christopher Wren chứng tỏ chiều dài của cycloid bằng 4 lần đường kính của đường tròn nói trên.

Cách vẽ hình trong Maple với h=a:
> with(plots):
> animate({[s+cos(t), 1+sin(t), t=0..2*Pi],[t-sin(t), 1-cos(t),t=0..4*Pi],[s-t*sin(s), 1-t*cos(s), t=0..1]},s=0..4*Pi,frames=50,color=blue);
11. Rhodonea Curves (đường cong hoa hồng)

Phương trình trong toạ độ cực:
$r = a \sin(k\theta)$
Các đường cong này được đặt tên bởi nhà toán học Italia Guido Grandi khoảng 1723 và 1728 vì chúng trông giống hoa hồng.
Khi k là một số nguyên số cánh là k hay 2k phụ thuộc vào k lẻ hay chẳn. Nếu k là vô tỉ thì số cánh hoa là vô hạn.

Các hình ảnh của đường cong này khi $k=\frac{n}{d}$

Hoa hồng đôi, một phiên bản khác của đường cong hoa hồng.

Để vẽ các hình này trên Maple bạn có thể xem thêm ở liên kết sau:Link
12. Viên ngọc, quả lê và hạt đậu

Phương trình trong hệ tọa độ Đề-các:
$y^n = k(a - x)^px^m$
Đường cong với phương trình cho ở trên trong đó n, p và m là số nguyên, được nghiên cứu bởi de Sluze vào khoảng 1657 đến 1698.
Cái tên Pearls of Sluze(các viên ngọc của Sluze)cho các đường cong này được đưa ra bởi Blaise Pascal.
Hình vẽ trên ứng với n = 4, k = 2, a = 4, p = 3, m = 2.
Đường cong hình trái lê:

Nó được nghiên cứu bởi G de Longchamps vào 1886.
Phương trình trong hệ tọa độ Đề-các:
$b^2y^2 = x^3(a-x)$
Đường cong hình hạt đậu:

Phương trình trong hệ tọa độ Đề-các:
$x^4+ x^2y^2+y^4 = x(x^2+y^2)$
Trái tim trong tọa độ cực và các phương trình hàm ẩn của nó

Cuối cùng ta sẽ đến với một phương trình đường cong tuyệt mỹ mà toán học dành cho tình yêu:
Phương trình tình yêu:

Dùng hàm implicitplot3d của Maple (hoặc phần mềm mathematica) để vẽ biểu diễn những phương trình này sẽ được hình ảnh trái tim trong không gian 3 chiều (trông như thật !!!)

Ðừng khóc vì mọi việc đã qua, hãy cười vì mọi việc đang chờ phía trước.

Toán học không khô khan như chúng ta vẫn nghĩ nhé!Toán học thực sự đã làm cho tình yêu trở nên thật lãng mạn,đẹp đẽ và sâu sắc.

Blog Trần Văn Cương

Toán học lý thú

Dạy và học

Thứ Sáu, 7 tháng 6, 2013

Các đường cong lãng mạn

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét