Đường cong Bézier và ứng dụng

Đường cong Bézier là một đường cong tham số thường được sử dụng trong đồ họa máy tính và một số lĩnh vực khác. Dạng tổng quát hóa của đường cong Bézier trong không gian nhiều chiều được gọi là mặt phẳng Bézier, trong đó tam giác Bézier là một trường hợp đặc biệt.
Đường cong Bézier được công bố lần đầu vào năm 1962 bởi một kỹ sư người Pháp Pierre Bézier, người sử dụng nó để thiết kế thân ôtô. Nhưng việc nghiên cứu những đường cong này thực tế đã bắt đầu từ năm 1959 bởi nhà toán học Paul de Casteljau, ông sử dụng giải thuật De Casteljau để đánh giá các đường cong đó.
Về mặt ứng dụng, đường cong Bézier thường được sử dụng trong đồ họa vector để mô hình hóa các đường cong mượt (smooth curves) và những đường cong đó có thể được phóng to hoặc thu nhỏ theo một tỉ lệ không giới hạn. "Đường dẫn" (path), một khái niệm được sử dụng trong các chương trình xử lý ảnh, được tạo ra bằng cách liên kết các đường cong Bézier với nhau. Đường cong Bézier còn thường được sử dụng như là một công cụ để điều khiển sự chuyển động (animation).

Xây dựng các đường cong Bézier

Đường cong tuyến tính

Minh họa xây dựng một đường cong Bézier tuyến tính, t có giá trị [0,1]

t trong phương trình đường cong Bézier tuyến tính có thể được xem như là giá trị khoảng cách của B(t) từ P₀ đến P₁. Ví dụ, với t = 0.25, thì B(t) là có giá trị là 1/4 khoảng cách từ P₀ đến P₁.
Giá trị của t dao động từ 0 đến 1, nên B(t) sẽ mô tả một đường thằng nối P₀ với P₁.

Đường cong bậc hai

Đối với đường cong Bézier bậc 2, ta có thể xác định 2 điểm trung gian Q₀ và Q₁ sao cho t dao động từ 0 đến 1:

• Điểm Q₀ biến đổi từ P₀ đến P₁ và nó mô tả một đường cong Bézier tuyến tính.
• Điểm Q₁ biến đổi từ P₁ đến P₂ và nó mô tả một đường cong Bézier tuyến tính.
• Điểm B(t) biến đổi từ Q₀ đến Q₁ và nó mô tả một đường cong Bézier bậc 2.

Một đường cong Bézier bậc 2		Minh họa xây dựng một đường cong Bézier bậc 2, với t có giá trị [0,1]

Đường cong bậc ba

Một đường cong Bézier bậc 3		Minh họa xây dựng một đường cong Bézier bậc 3, t có giá trị [0,1]

Đường cong bậc cao

Với đường cong Bézier bậc 4, ta có thể xây dựng các điểm trung gian Q₀, Q₁, Q₂ & Q₃ mô tả có đường cong Bézier tuyến tính, các điểm R₀, R₁ & R₂ mô tả các đường cong Bézier bậc 2, và các điểm S₀ & S₁ mô tả các đường cong bậc 3:

Một đường cong Bézier bậc 4		Minh họa xây dựng một đường cong Bézier bậc 4, t có giá trị [0,1]

Đường cong Bézier các bậc cao hơn được xây theo cách tương tự.

 Theo http://vi.wikipedia.org/